2011 erreichte Terence bei Juniorenwettkämpfen in Baiersbronn Top-5-Resultate. Bis 2014 trat er im Alpencup an, bei den Junioren-Weltmeisterschaften 2014 in Val di Fiemme und 2015 in Almaty gewann er jeweils Silber mit dem Team.

Als erste Continentalcup-Resultate stehen 2014 in Klingenthal die Plätze 13 und 25 zu Buche. Im Jahr darauf wurde Terence an selber Stelle auf selber Wettkampfebene Achter und 17., ehe er 2016 in Pyeongchang als Dritter sein erstes COC-Podest schaffte.

2015 wurde Terence in Oberstdorf Deutscher Juniorenmeister.

Bei seinen ersten zwei Weltcupstarts 2015 (Lillehammer) lief Terence gleich zweimal in die Punkteränge. Auf dem Podest stand Terence zuletzt zusammen mit Manuel Faißt als Zweitplatzierte beim Teamsprint im Rahmen des Sommer-Grand-Prix in Oberwiesenthal (August 2018).

Insgesamt platzierte sich Terence in Einzel-Weltcups bis 2019 sieben Mal in den Top-10. Durch die guten Resultate qualifizierte er sich 2019 für seine ersten Weltmeisterschaften und belegte in Seefeld (AUT) Rang 25.

Webers fünfte Weltcupsaison 2019/20 war seine bis dahin beste, der Athlet vom SSV Geyer wurde Gesamt-16. Beste Einzelplatzierung war Rang neun in Trondheim - hinzu kam das erste Weltcup-Podest überhaupt, das Terence Ende Februar im Teamsprint zusammen mit Manuel Faißt in Lahti (FIN) erreichte. 

In der von der Corona-Pandemie überschatteten Saison 2020/21 konnte Terence seinen bisher größten Erfolg feiern: Bei den FIS Nordischen Ski-Weltmeisterschaften 2021 in Oberstdorf im Allgäu gewann der Sachse gemeinsam mit Fabian Rießle, Eric Frenzel und Vinzenz Geiger Team-Silber. Im Weltcup konnte sich der Sportsoldat nochmals steigern und schaffte drei weitere Top-Ten-Ergebnisse.

Noch erfolgreicher lief es im Winter 2021/2022 im Weltcup. Im finnischen Ruka feierte Terence seinen ersten Weltcupsieg überhaupt. Nach neun weiteren Top-10-Ergebnissen wurde der damals 25-Jährige für seine ersten Olympischen Spiele nominiert. Leider wurde Terence nach seiner Ankunft in Peking positiv auf das Coronavirus getestet und konnte bei den Olympischen Wettkämpfen nicht an den Start gehen. Dennoch war es mit Rang acht im Weltcup-Gesamtklassement eine starke Saison des Sachsen.

Terence wechselte in der Saison 2022/23 zwischen dem Weltcup und Continentalcup. Im Continentalcup zeigte er eine besonders starke Saison und stand neunmal auf dem Podium, darunter fünf Siege. Mit 136 gesammelten Punkten entschied er die Gesamtwertung vor Teamkollege Wendelin Thannheimer für sich. Zusätzlich war er bei sieben Weltcups Teil des deutschen Teams und schaffte beim Saisonfinale in Lahti sogar den Sprung unter die Top-10 - auch in der Weltcup-Gesamtwertung schaffte er es unter die 30 besten Athleten der Welt.

Im Winter 2023/24 gehörte Terence wieder fest zum Weltcupteam und erzielte in Einzel-Wettkämpfen insgesamt sechs Top-Ten-Ergebnisse.

Erste Weltcup-Platzierung: 2015 Lillehammer 17.
Erste Weltcup-Top-10: 2018 Hakuba 9. Einzel
Erstes Weltcup-Podium: 2020 Lahti 2. Teamsprint

Gesamtweltcup
2024: 14.
2023: 28.
2022: 8.
2021: 15.
2020: 16.
2019: 23.
2018: 31.
2017: 30.
2016: 47.

Continentalcup

2023: 1.
2017: 23.
2016: 10.

WM 2021 Oberstdorf (GER) 2 Team (HS 106)
WM 2019 Seefeld (AUT) 25 Gundersen (HS109)
JWM 2016 Rasnov (ROU) 2 Team (HS100)
JWM 2016 Rasnov (ROU) 2 Gundersen (HS100, 5 km)
JWM 2016 Rasnov (ROU) 3 Gundersen (HS100, 10 km)
JWM 2015 Almaty (KAZ) 2 Team (HS100)
JWM 2014 Val di Fiemme (ITA) 2 Team (HS106)